이렇게 잘못 아는 사람들이 의외로 많습니다!
1.
수험생들과 학부모들은 물론이고, 심지어 입시 설명회를 진행하는 연사들 중에서
아래의 내용으로 잘못 알고 있는 사람들이 제법 많습니다.
그런데 결론부터 말하자면 1)과 2)는 둘 다 분명히 틀린 것입니다.
1) 평균 백분위 95 이상이면 상위 5% 이내를 의미한다.
2) 평균 등급 2.5이면 2등급(~11%)과 3등급(~23%)의 중간이므로 상위 17%에 해당한다.
먼저 1)부터 설명하면 평균 백분위와 누적 백분위의 차이부터 명확하게 인식해야 하는데,
이해를 돕기 위해서 주사위 확률 문제의 예를 제시합니다.
* 주사위 1개를 던져서 나오는 숫자를 기준으로...
1이 나올 확률 --> 1/6 = 16.67%
2 이내일 확률 --> 2/6 = 33.33%
3 이내일 확률 --> 3/6 = 50.00%
* 서로 다른 주사위 3개를 던져서 나오는 숫자를 기준으로...
평균 1이 나올 확률 = 숫자 3개의 합계가 3일 확률 --> 1/216 = 0.46%
평균 2 이내일 확률 = 숫자 3개의 합계가 6 이하일 확률 --> 60/216 = 27.78%
평균 3 이내일 확률 = 숫자 3개의 합계가 9 이하일 확률 --> 81/216 = 37.50%
주사위 하나에서 3 이내의 숫자는 절반이니까
서로 다른 주사위 3개를 던져서 평균 3 이내의 숫자가 나올 확률도 50%라고 착각하면 곤란합니다.
각각의 주사위에서 다양한 숫자가 나올 수가 있음을 알아야 합니다.
예를 들면 서로 다른 주사위 3개를 던져서 나오는 숫자의 합계가 5인 경우만 헤아려도
(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)의 6가지가 존재합니다.
일단 서로 다른 주사위 3개를 던져서 나오는 숫자가 모두 1일 확률이
위와 같이 나오는 이유는 다음과 같습니다.
같은 원리를 적용하여 서로 다른 3과목에서 모두 1등급일 확률을 계산하면
1등급은 상위 4%이고, '4% = 1/25'이므로 다음과 같습니다.
그런데 실제로 서로 다른 3과목에서 모두 1등급인 학생이 존재할 확률은
위의 확률보다 높은 경우가 많습니다.
왜냐하면 위의 확률은 서로 다른 3과목에서 1등급일 확률이 모든 경우에서 동등할 것이라는
전제로 계산한 수학적 확률이지만, 실제 학생들은 어느 한 과목을 잘 하는 학생이면
다른 과목도 잘 할 확률이 높기 때문입니다. (=3과목 모두 1등급을 차지하는 경우가 많습니다.)
그래서 수능 성적을 기준으로 모든 영역에서 1등급을 확보하는 수험생의 비율은
수학적 확률로 계산한 것보다 높게 나타납니다.
그러므로 여러 영역의 평균 백분위가 95 이상인 수험생은 실제로는 5%보다 적을 것인데,
그렇다고 수학적 확률에 해당하는 정도는 아니며, 그것보다는 높게 나타납니다.
그래서 평균 백분위라는 개념과 별도로 누적 백분위라는 개념이 필요합니다.
누적 백분위는 실제로 여러 영역에 응시한 수험생들을 전체적으로 나열한 분포에서
차지하는 위치를 나타내는 개념입니다.
2.
위의 내용을 이해했다면 2)의 내용을 이해하기에 좀 더 수월할 것인데,
일단 성적 표기 방식에서 '등급' 제도가 도입된 배경부터 알아둘 필요가 있습니다.
등급 제도가 도입되기 전에는 그냥 원점수나 석차 백분율을 기준으로 줄을 세웠습니다.
그래서 1등부터 꼴지까지 수직 서열화가 이루어졌던 것입니다.
그런데 이렇게 지나친 수직 서열화로 인하여 발생하는 폐해를 줄이기 위해서
1점이나 0.1% 단위로 변별하는 대신에 '등급'이라는 개념을 도입했던 것입니다.
그래서 원래 개별 등급은 정수(정확히 말하면 자연수)로만 표기합니다.
개별 등급에서 소수점 표기는 존재할 수가 없습니다.
개별 등급에서 소수점 표기를 허용한다면 애초에 등급 제도를 도입할 명분이 사라집니다.
그냥 석차 백분율을 그대로 사용하면 되기 때문입니다.
등급에서 소수점 표기는 여러 등급의 평균을 산출할 때에만 나타납니다.
예를 들어서 '국어 1등급, 수학 2등급, 영어 3등급, 과학 4등급'이면 4개 평균 2.5등급입니다.
그리고 위에 설명한 바와 같이
단순히 평균 2.5등급이라고 해서 누적 백분위까지 정확히 알아낼 수는 없으므로
상위 11%인지... 상위 23%인지... 오직 평균 등급만 봐서 알아낼 방법은 없습니다.
특히 교과 성적(내신)에서는 수학적 확률에 의한 예측조차 벗어나는 경우가 굉장히 많습니다.
상위권 학생들의 밀집도가 높은 자사고나 특목고의 경우에는 전교 1등인 학생이
합산 평균 2점대인 경우도 존재합니다. 다시 말해서 1점대인 학생이 단 한 명도 없는 것입니다.
그래서 교과 성적 평균 등급이 똑같이 2.5라고 해도 학생의 소속 고교별 특성에 따라서
그냥 적당한 중상위권 정도일 수도 있지만, 최상위권일 수도 있기에
위와 같이 무작정 평균 등급만으로 석차 백분율을 예측하는 것은 분명한 잘못입니다.
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